混合量子-古典運算在金融最佳化中的應用前景

一、量子運算的現狀與金融業的期待

量子運算正處於一個微妙的技術拐點。一方面，IBM、Google、IonQ 等硬體廠商持續推進量子位元數量與品質的提升；另一方面，實際可運行的量子應用仍極為有限。Preskill 在其開創性的論文中將當前階段定義為「嘈雜中等規模量子」（Noisy Intermediate-Scale Quantum, NISQ）時代^[6]，指出在這個階段，量子電腦的量子位元數量（50-數百個）足以超越古典模擬的能力，但雜訊水準仍然太高，無法執行需要深層量子電路的演算法。

金融業對量子運算的興趣源自其核心業務中大量存在的組合最佳化問題——投資組合配置、風險定價、衍生性金融商品估值、交易路由等——這些問題在古典計算中的複雜度往往隨問題規模呈指數級增長。Orus 等人在《Reviews of Physics》上發表的綜合回顧^[3]系統性地分析了量子運算在金融領域的四大應用方向：蒙地卡羅模擬加速、投資組合最佳化、機器學習增強與密碼學。其中，投資組合最佳化被普遍認為是最有可能在 NISQ 時代展現實用價值的方向。

Herman 等人在 2022 年發表的最新調查^[7]進一步細化了量子金融的技術成熟度評估，指出變分量子演算法（variational quantum algorithms）是當前最具商業化潛力的技術路線。本研究即聚焦於兩種最主要的變分量子演算法——QAOA 與 VQE——在投資組合最佳化場景中的實測表現。

二、QAOA 與 VQE 演算法原理

2.1 量子近似最佳化演算法（QAOA）

QAOA 由 Farhi 等人於 2014 年提出^[1]，是一種專門設計用於組合最佳化問題的變分量子演算法。其核心思想是交替施加「問題哈密頓量」（problem Hamiltonian）和「混合哈密頓量」（mixer Hamiltonian）的時間演化算子，透過古典最佳化器調整演化參數，逐步逼近最佳解。

在投資組合最佳化的語境下，QAOA 的運作方式如下：首先，將投資組合配置問題編碼為一個二次無約束二元最佳化（QUBO）問題，其中每個量子位元代表一檔資產的持有/不持有決策。問題哈密頓量編碼了預期報酬與風險之間的目標函數，混合哈密頓量則確保搜索空間的充分探索。QAOA 的關鍵超參數 p（演化層數）決定了電路的深度——p 值越高，理論上近似品質越好，但電路深度增加也意味著更多的雜訊累積。

2.2 變分量子特徵值求解器（VQE）

VQE 由 Peruzzo 等人於 2014 年提出^[2]，最初設計用於求解量子化學中的基態能量問題，後被廣泛應用於各類最佳化問題。與 QAOA 的固定電路結構不同，VQE 採用更靈活的參數化量子電路（parameterized quantum circuit, PQC），允許研究者根據問題特性設計擬設（ansatz）。

Egger 等人在 IEEE Transactions on Quantum Engineering 上發表的研究^[4]展示了 VQE 在金融最佳化中的具體應用方式——透過將投資組合最佳化問題映射為 Ising 模型，利用 VQE 求解其基態，即為最佳的資產配置方案。VQE 的優勢在於其電路設計的靈活性，允許根據金融問題的特殊結構（如資產相關性矩陣的稀疏性）設計更高效的擬設。

三、投資組合最佳化實測設計

3.1 問題設定

我們設計了一系列漸進複雜度的投資組合最佳化實驗。基礎場景包含 4 檔資產（需要 4 個量子位元），進階場景擴展至 10 檔資產。每個場景使用真實的歷史市場資料，計算資產的期望報酬向量和協方差矩陣，並將目標函數定義為 Markowitz 均值-變異數模型的標準形式：最大化期望報酬的同時最小化投資組合風險，受預算約束（投資比例總和為 1）。

3.2 量子電路實作

QAOA 的實作方面，我們測試了 p=1 到 p=5 的電路深度，使用 COBYLA 與 SPSA 兩種古典最佳化器。VQE 的實作方面，我們測試了三種不同的擬設架構：RealAmplitudes（線性糾纏）、EfficientSU2（全連接糾纏）與問題專用的 Portfolio Ansatz（根據資產相關性設計糾纏結構）。

為了在 NISQ 裝置上獲得有意義的結果，我們採用了 Barkoutsos 等人提出的 CVaR（Conditional Value at Risk）聚合方法^[5]——不使用所有測量結果的期望值，而是僅使用最佳的 α 百分位結果。CVaR 聚合已被證明能有效提升變分量子演算法在存在雜訊環境下的最佳化品質。

3.3 基準對照

作為效能基準，我們使用三種古典方法作為對照：精確暴力搜索法（僅適用於小規模問題）、傳統蒙地卡羅模擬（10,000 次隨機取樣）、以及二次規劃求解器（scipy.optimize.minimize with SLSQP）。所有實驗在 IBM Qiskit Runtime 上執行，同時使用模擬器與真實量子硬體進行對比。

四、效能對比：量子 vs 蒙地卡羅

4.1 解的品質

在 4 檔資產的場景中，QAOA（p=3）與 VQE（EfficientSU2 擬設）均能在模擬器上達到精確解的 99.5% 以上品質。在真實量子硬體上，受雜訊影響，品質分別降至 95.8%（QAOA）與 96.2%（VQE）。值得注意的是，VQE 在真實硬體上的表現略優於 QAOA，這可能歸因於其較淺的電路深度。

擴展至 10 檔資產時，差異更為明顯。QAOA（p=3）在模擬器上達到精確解的 97.3% 品質，但在真實硬體上降至 89.1%。VQE 的 Portfolio Ansatz 在模擬器上達到 98.1%，在真實硬體上為 91.7%。蒙地卡羅模擬在 10,000 次取樣下達到精確解的 94.2%，但增加取樣至 100,000 次後可達 98.9%。

4.2 計算時間

在 4 檔資產的問題上，古典方法的計算時間可忽略不計（毫秒級）。量子方法由於需要多次量子電路執行與古典最佳化迭代，總計算時間反而更長——QAOA 約 45 秒，VQE 約 60 秒。然而，理論分析表明，當問題規模擴展至 50 檔以上資產時，古典暴力搜索的計算時間將呈指數增長，而量子方法的增長速度理論上為多項式級。

4.3 CVaR 聚合的效果

Barkoutsos 等人提出的 CVaR 方法^[5]在我們的實測中展現了顯著的品質提升。使用 α=0.1（僅取最佳 10% 的測量結果）時，QAOA 在真實硬體上的解品質從 89.1% 提升至 93.4%（10 檔資產場景），提升幅度約 4.3 個百分點。這證實了 CVaR 作為雜訊緩解策略的有效性。

五、近期展望與混合架構路線圖

5.1 NISQ 時代的務實策略

基於實測結果，我們認為在 NISQ 時代，量子運算在金融最佳化中的最務實應用策略是「混合量子-古典架構」——利用量子處理器執行問題中最具挑戰性的子問題（如搜索空間的量子採樣），而將前處理、後處理與結果驗證交由古典電腦處理。Egger 等人^[4]的研究同樣支持這一觀點，認為混合架構是從 NISQ 過渡到容錯量子運算時代的最佳橋梁。

5.2 技術路線圖

我們將混合量子-古典架構在金融最佳化中的發展分為三個階段：

• 近期（2025-2027）：聚焦於 10-20 檔資產規模的投資組合最佳化，主要價值在於技術能力建構與團隊培養。錯誤緩解技術（如零噪聲外推法、機率性錯誤消除）將是提升實用性的關鍵。
• 中期（2027-2029）：隨著量子位元數量與品質的提升，擴展至 50-100 檔資產規模，開始在特定場景中展現超越古典方法的計算優勢。量子錯誤校正碼的逐步引入將是此階段的技術關鍵。
• 長期（2029+）：容錯量子運算的實現將開啟全新的可能性——包括基於量子蒙地卡羅的衍生性金融商品精確定價、大規模信用風險模擬、以及即時交易策略最佳化。

5.3 給金融機構的建議

對於有意探索量子金融的機構，我們建議從三個方面著手準備：第一，建立量子運算的基礎能力團隊——不需要量子物理學博士，但需要能理解量子電路、變分演算法與最佳化問題映射的工程師。第二，識別內部最佳的試點場景——優先選擇問題規模適中、有明確的古典基準對照、且業務影響可量化的場景。第三，與量子硬體供應商和學術機構建立合作關係——量子運算仍處於快速演進中，持續追蹤技術前沿是保持競爭力的必要條件。

量子運算在金融最佳化中的應用前景令人振奮，但實現這個前景需要的是長期、系統性的投入，而非追逐短期的炒作。混合量子-古典架構為金融機構提供了一條務實的前進路徑——在當前技術限制下建立能力，同時為未來的量子優勢做好準備。